Question

【題目】橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】（Ⅰ）由已知，點C，D的坐標分別為（0，－b），（0，b）

又點P的坐標為（0，1），且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以橢圓E方程為.

（Ⅱ）當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋1

A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）

聯立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0

其判別式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0

所以

從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]

＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝

＝－

所以，當λ＝1時，－＝－3

此時， ＝－3為定值

當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD

此時＝－2－1＝－3

故存在常數λ＝－1，使得為定值－3.