Question

某商品一年內出廠價格在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動，已知3月份達到最高價格8元，7月份價格最低為4元，該商品在商店內的銷售價格在8元基礎上按月份隨正弦曲線波動，5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設商店每月購進這種商品m件，且當月銷完，你估計哪個月份盈利最大？

Answer 1

解：設出廠價波動函數為y₁=6+Asin（ω₁x+φ₁）
根據最高價格和最低價格可知A==2 T₁=8，ω₁=，+φ₁=，φ₁=-
∴y₁=6+2sin（x-）
設銷售價波動函數為y₂=8+Bsin（ω₂x+φ₂）
易知B=2，T₂=8，ω₂=，π+φ₂=，φ₂=-
∴y₂=8+2sin（ x-）
每件盈利 y=y₂-y₁=[8+2sin（x-）][6+2sin（x-）]=2-2sinx
當sinx=-1 x=2kπ-，x=8k-2時y取最大值
當k=1 即x=6時 y最大
∴估計6月份盈利最大
分析：分別設出出廠價波動函數和售價波動函數，利用最高和最低價分別振幅A和B，根據月份求得周期進而求得ω₁和ω₂，根據最大值求得φ₁和φ₂，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達式，利用正弦函數的性質求得y取最大值時x的值．
點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數的模型的問題．突顯了運用三角函數的圖象和性質來解決問題．