Question

某商品一年內出廠價格在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動，已知3月份達到最高價格8元，7月份價格最低為4元．該商品在商店內的銷售價格在8元基礎上按月份隨正弦曲線波動，5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價最低為6元．
（1）試分別建立出廠價格、銷售價格的模型，并分別求出函數解析式；
（2）假設商店每月購進這種商品m件，且當月銷完，試寫出該商品的月利潤函數；
（3）求該商店月利潤的最大值．（定義運算sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)．

Answer 1

分析：（1）分別設出出廠價波動函數和售價波動函數，利用最高和最低價分別振幅A和B，根據月份求得周期進而求得ω₁和ω₂，根據最大值求得φ₁和φ₂；
（2）由（1）中出廠價格及銷售價格，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達式．
（3）利用三角函數的性質即可求出利潤函數的最大值．

解答：解：（1）設出廠價格函數為 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]
銷售價格函數為g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12}
由題設，A₁=

8-4

2

=2，k₁=6，ω₁=

2π

4×2

=

π

4

，
A₂=

10-6

2

=2，k₂=8，ω₂=

2π

4×2

=

π

4

，
將（3，8）代入f（x）可得 2sin（

π

4

×3+φ₁）+6=8 得φ₁=-

π

4

+2kπ，k∈Z
將（5，10）代入g（x）可得 2sin（

π

4

×5+φ₂）+8=10 得φ₂=-

3π

4

+2kπ，k∈Z
故出廠價格函數為f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6，x∈[0，12}
銷售價格函數為g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8，x∈[0，12}
（2）設盈利函數為H（x），
則H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

-）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]，x∈[0，12}
（3）H（x）=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

-）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]=2m[-cos（

π

4

x-

π

4

-）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]
=2m-2

2

msin(

π

4

x)，
∴當sin（

π

4

x）=-1時，H（x）取得最大值，最大值為2m+2

2

m．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數的模型的問題，函數模型的選擇與應用，三角函數的值域，考查了三角函數的圖象和性質來解決問題．綜合性較強，考查學生的計算能力．