【題目】已知函數
其中
是實數．設
為該函數圖像上的兩點，橫坐標分別為
，且
．
（1求
的單調區間和極值；
（2）若
，函數的圖像在點
處的切線互相垂直，求
的最大值．
【答案】（1）
的單調遞增區間為
和
，單調遞減區間為
當
時，
有極小值
無極大值；（2）
有最大值-1．
【解析】
試題分析：（1）先對函數
求導，當導數大于0時單調遞增，當導數小于0時單調遞減，求方程
的根；、檢查與方程的根左右值的符號，如果左正右負，那么
在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么在這個根處取得極小值，（2）由
，當
時，
，由函數
的圖像在點
處的切線互相垂直，由已知得
，可得
的關系式，再利用基本不等式求出
有最小值，即可得有最大值
試題解析：（1）
當
時，
；當
時，
；當
時，
，
∴的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．
當時，有極小值無極大值．
（2）當時，，
由已知得，
∴
∴
∵
，∴
，
∴
，當
，即
時，有最小值1，即有最大值-1
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國的高鐵技術發展迅速，鐵道部門計劃在
兩城市之間開通高速列車，假設列車在試運行期間，每天在
兩個時間段內各發一趟由
城開往
城的列車（兩車發車情況互不影響），
城發車時間及概率如下表所示：
發車 時間 |
|
|
|
|
|
|
概率 |
|
|
|
|
|
|
若甲、乙兩位旅客打算從城到
城，他們到達
火車站的時間分別是周六的
和周日的
（只考慮候車時間，不考慮其他因素）．
（1）設乙候車所需時間為隨機變量
（單位：分鐘），求
的分布列和數學期望
；
（2）求甲、乙兩人候車時間相等的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線
的頂點為坐標原點O，焦點F在
軸正半軸上，準線
與圓
相切.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知直線
和拋物線交于點
，命題
：“若直線
過定點（0，1），則 
”，
請判斷命題的真假，并證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
為常數,
的一個零點是
,函數
是自然對數的底數, 設函數
．
（1）過點坐標原點
作曲線
的切線, 證明切點的橫坐標為
；
（2）令
,若函數
在區間
上是單調函數, 求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若有窮數列
（
是正整數），滿足
即
（
是正整數，且
），就稱該數列為“對稱數列”。例如，數列
與數列
都是“對稱數列”．
（1）已知數列
是項數為9的對稱數列，且
,
,
,
,
成等差數列， 
， 
,試求
， 
， 
， 
，并求前9項和
.
（2）若
是項數為
的對稱數列，且
構成首項為31，公差為
的等差數列，數列
前
項和為
，則當
為何值時， 
取到最大值？最大值為多少？
（3）設
是
項的“對稱數列”，其中
是首項為1，公比為2的等比數列．求
前
項的和
．
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