Question

【題目】如圖，已知多面體中，平面，平面，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求多面體的體積；

（3）求平面和平面所成的銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）．

【解析】

（1）取中點(diǎn)，根據(jù)已知，結(jié)合三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理可以證明出，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（2）利用多面體的體積是兩個(gè)三棱錐的體積之和，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

（1）取中點(diǎn)，連接，

因此有且，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，由已知可知：，

所以且，

因此為平行四邊形，∴，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>，所以三角形是等邊三角形，而是的中點(diǎn)，

所以，而，平面，

因此平面，∴平面；

（2）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因此，因此有，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因此，

由平面，平面，所以，

因此，

由（1）知：，所以，連接，

；

（3）建立如下圖的所示的空間直角坐標(biāo)系，

,

設(shè)平面的法向量為：，

，

因此有，

平面的法向量為：,

設(shè)平面和平面所成的銳二面角的大小為，

則有.