Question

【題目】已知橢圓的中心是坐標原點，它的短軸長為，一個焦點為，一個定點，且，過點的直線與橢圓相交于兩點..

（1）求橢圓的方程及離心率.

（2）如果以為直徑的圓過原點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1），離心率為；（2）或

【解析】

（1）根據短軸長求得，根據列方程，求得，由此求得，從而求得橢圓的方程以及離心率.

（2）當直線斜率不存在時，不合題意.當直線斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，寫出判別式和韋達定理.根據圓的直徑有關的幾何性質得到，化為，利用向量數量積的坐標運算進行化簡，解方程求得直線的斜率，進而求得直線的方程.

（1）由題意得：，

所以 ， ，

因為，即： ，

解得：，所以，

所以 ，

所以橢圓的方程為：，離心率為.

（2）由（1）可知，設 .顯然當直線的斜率不存在時不適合題意，設直線的斜率為，

則直線方程為：，與橢圓方程，

聯立得：，

，

，，

因為以為直徑的圓過原點，

所以，即，

所以 ，即 ，

，

即：,

解得：，即，

所以直線的方程為或.