Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，D點為棱AB的中點．

求證：平面；

若，，求二面角的余弦值；

若，，兩兩垂直，求證：此三棱柱為正三棱柱．

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）

（3）見解析

【解析】

（1）連接交于，連接，則是△的中位線，所以，即可證明平面；

（2）過作于，連接，則，平面，可得為二面角的平面角；

（3）作，，垂足分別為，，連接，，證明是等邊三角形，又三棱柱是直三棱柱，即可證明結論．

（1）證明：連接交于，連接，則是△的中位線，所以

又 平面，平面

平面．

（2）解：過作于，連接，則平面，

為二面角的平面角，設

由已知可得，

，

，

，

即二面角的余弦值為．

（3）證明：作，，垂足分別為，，連接，．

由已知可得 平面，

又 ，且，是平面內的兩條相交直線，

平面，

同理

又 直線，，都在平面內，，

又，四邊形是平行四邊形，，

又△，，

同理，

是等邊三角形，又三棱柱是直三棱柱三棱柱為正三棱柱．