Question

【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點．

（1）試求雙曲線的標準方程；

（2）記雙曲線的左、右焦點為F1、F2，試在“8”字形曲線上求點P，使得∠F1PF2是直角．

（3）過點A作直線l分別交“8”字形曲線中上、下兩個半圓于點M、N，求|MN|的最大長度．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（），（）（3）最大長度為8

【解析】

（1）求出半圓的圓心和半徑，求得圓與x軸的交點，即有a＝2，令y＝2，解得交點，代入雙曲線方程，解得b，進而得到雙曲線的方程；

（2）求出焦點坐標，∠F1PF2是直角，則設P（x，y），則由x2+y2＝8，聯立兩半圓的方程及雙曲線方程，解得交點，注意檢驗，即可得到所求的P的坐標．

（3）討論斜率是否存在，求出|MN|，即可得出結論．

（1）上半個圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，則圓心為（0，2），半徑為2．

則下半個圓所在圓的圓心為（0，﹣2），半徑為2．

雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，即為（﹣2，0），（2，0），即a＝2，

由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點，則令y＝2，解得，x＝±2．

即有交點為（±2，2）．

設雙曲線的方程為1（a＞0，b＞0），

則1，且a＝2，解得，b＝2．

則雙曲線的方程為1；

（2）雙曲線的左、右焦點為F1（﹣2，0），F2（2，0），

若∠F1PF2是直角，則設P（x，y），則有x2+y2＝8，

由解得，x2＝6，y2＝2．故P的坐標為（），（）．

由解得，y＝-1，不滿足題意，舍去．

由解得，y＝1，不滿足題意，舍去．

故在“8”字形曲線上所求點P的坐標為（），（）．

（3）設M，N的橫坐標分別為xM，xN．

①直線l的斜率不存在時，|MN|＝8；

②直線l的斜率存在時，設方程為y＝k（x+2）（或 ），

代入x2+y2﹣4y﹣4＝0，可得（k2+1）x2+（4k2﹣4k）x+4k2﹣8k﹣4＝0，

∴﹣2xM，

∴xM，

同理xN，

∴|MN||xM﹣xN|，

綜上：|MN|的最大長度為8．