Question

橢圓焦點在x軸上，A為該橢圓右頂點，P在橢圓上一點，∠OPA=90°，則該橢圓的離心率e的范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1）
• B、（

  2

  2

  ，1）
• C、[

  1

  2

  ，

  6

  3

  ）
• D、（0，

  2

  2

  ）

Answer 1

分析：可設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．設P（x，y），由于∠OPA=90°，可得點P在以OA為直徑的圓上．該圓為：(x-

a

2

)2+y2=(

a

2

)2，化為x²-ax+y²=0．與橢圓的方程聯立可得：（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，得到ax=

-a2b2

b2-a2

，解得x=

ab2

c2

，由于0＜x＜a，可得0＜

ab2

c2

＜a，解出即可．

解答：解：可設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
設P（x，y），∵∠OPA=90°，∴點P在以OA為直徑的圓上．
該圓為：(x-

a

2

)2+y2=(

a

2

)2，化為x²-ax+y²=0．
聯立

x2-ax+y2=0 x2 a2 + y2 b2 =1

化為（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，
則ax=

-a2b2

b2-a2

，解得x=

ab2

c2

，
∵0＜x＜a，∴0＜

ab2

c2

＜a，
化為c²＞b²=a²-c²，
∴e2＞

1

2

，又1＞e＞0．
解得

2

2

＜e＜1．
∴該橢圓的離心率e的范圍是(

2

2

，1)．
故選：C．

點評：本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．