Question

16．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-m．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期與單調遞增區間；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，方程f（x）=0有實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，求出內層函數的取值范圍，方程f（x）=0有實數解，結合三角函數的圖象和性質，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-m．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$-m=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}-m$．
∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}-m$．
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
方程f（x）=0有實數解，即sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}+m$．
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{1}{2}+m$≤1．
解得：$-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
故得實數m的取值范圍是[$-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．