Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，AA₁＝AC＝CB＝AB．

（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）在平面內找一條直線與已知直線平行，通過線線平行可證；（Ⅱ）利用空間向量可求.
試題解析：(Ⅰ) 如圖，連結AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁的中點．
又D是AB的中點，連結DF，則BC₁∥DF．
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．                        4分
（Ⅱ）由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC．
以C為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz．

設CA＝2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A₁(2，0，2)，
∴＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．
設n＝(x₁，y₁，z₁)是平面A₁CD的法向量，則
即，可取n＝(1，－1，－1)．
同理，設m是平面A₁CE的法向量，則
，可取m＝(2，1，－2)．
從而cos＜n，m＞＝＝， ∴sin＜n，m＞＝．
故二面角D-A₁C-E的正弦值為．                 12分
考點：線面平行關系，二面角，空間向量的求解.