Question

【題目】如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），

（1）當BD的長為多少時，三棱錐A﹣BCD的體積最大；
（2）當三棱錐A﹣BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：設BD=x，則CD=3﹣x

∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VA﹣BCD= ×AD×S△BCD= ×（3﹣x）× ×x（3﹣x）= （x3﹣6x2+9x）

設f（x）= （x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），

∵f′（x）= （x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，3）上為減函數

∴當x=1時，函數f（x）取最大值

∴當BD=1時，三棱錐A﹣BCD的體積最大

（2）解：以D為原點，建立如圖直角坐標系D﹣xyz，

由（1）知，三棱錐A﹣BCD的體積最大時，BD=1，AD=CD=2

∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（ ，1，0），且 =（﹣1，1，1）

設N（0，λ，0），則 =（﹣ ，λ﹣1，0）

∵EN⊥BM，∴ =0

即（﹣1，1，1）（﹣ ，λ﹣1，0）= +λ﹣1=0，∴λ= ，∴N（0， ，0）

∴當DN= 時，EN⊥BM

設平面BMN的一個法向量為 =（x，y，z），由 及 =（﹣1， ，0）

得 ，取 =（1，2，﹣1）

設EN與平面BMN所成角為θ，則 =（﹣ ，﹣ ，0）

sinθ=|cos＜ ， ＞|=| |= =

∴θ=60°

∴EN與平面BMN所成角的大小為60°

【解析】（1）設BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A﹣BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數，最后利用導數求函數的最大值即可；（2）由（1）可先建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標和相關向量的坐標，設出動點N的坐標，先利用線線垂直的充要條件計算出N點坐標，從而確定N點位置，再求平面BMN的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角