Question

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外，以AB為直徑的半圓弧AB上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為對城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在AB的中點時，對A和城B的總影響度為0.065。



（1）將表示成的函數；
（2）判斷弧AB上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1) (2) 在弧AB存在C點使得交點在此處的垃圾處廠對A、B影響最小，該點距A的距離是km

試題分析：解：（1）如圖由題意知
             3
其中當
                                   5
           6
（2）
              9
令

            11

	－	0	＋

                13
答：在弧AB存在C點使得交點在此處的垃圾處廠對A、B影響最小，該點距A的距離是km。                 14
點評：解決的關鍵是能夠利用導數的符號來研究函數單調性，以及函數的最值的求解，屬于基礎題。