Question

已知函數 (a>0,且a≠1)，=.
（1）函數的圖象恒過定點A，求A點坐標；
（2）若函數的圖像過點(2,)，證明：函數在（1，2）上有唯一的零點.

Answer 1

（1）
（2）先利用已知條件求出a，在利用單調性和零點存在定理即可證明

試題分析：（1）因為對數函數恒過頂點（1,0），
所以令所以過頂點                                 5分
（2）∵  
∴代入計算可得a=2                                                         7分
∴
上的增函數和減函數
∴
∴                                      10分
又（1，2）
∴上至多有一個零點.                                            12分
而

∴函數（1，2）                                  16分
點評：指數函數和對數函數都過定點，這條性質要靈活應用；利用函數的零點存在定理時要注意它只能判斷有零點，不能判斷零點的個數.