Question

【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點分別為中點.

（1）求證：平面.

（2）若.

①求二面角的余弦值.

②求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②

【解析】

（1）取中點，連結，可證都與平面平行，從而得面面平行，又得證線面平行；

（2）①證明后，以以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角得二面角，②由以上證明可得與平面垂直，因此棱錐換底求體積，即．

（1）證明：取中點，連結，∵四邊形是矩形，點分別為中點.

∴，

平面，平面，

∴平面，同理平面，

∵，∴平面平面，

∵平面，∴平面.

（2）①解：∵

，∴，∴，

∵四邊形是矩形，平面平面，

∴以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，

則，，

設平面的法向量，則，取，得，

設平面的法向量，則，取，得，

設二面角的平面角為，則.

∴二面角的余弦值為.

②解：∵，∴平面，∴到平面的距離，

，

∴三棱錐的體積：.