Question

【題目】在平面直角坐標系中，點是圓：上的動點，定點，線段的垂直平分線交于，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若動直線：與軌跡交于不同的兩點、，點在軌跡上，且四邊形為平行四邊形.證明：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

(Ⅰ)由題意利用圖形的幾何性質和橢圓的定義即可確定軌跡方程；

(Ⅱ)聯立直線方程與(Ⅰ)中求得的軌跡方程，結合韋達定理和平行四邊形的性質得到面積的表達式，進一步計算即可證得其面積為定值.

（Ⅰ）由題意：，

∴根據橢圓的定義，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，其中，.

∴，，，

∴軌跡的方程為：；

（Ⅱ）證明：設、，

聯立方程組，得，

，∴，

，，

∴的中點，∴，

點在橢圓上，∴，

∴，

∴ ，

點到直線的距離，

∴

.

∴四邊形的面積為定值.