Question

(理)已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線不過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的數(shù)值；
(3)試問(wèn)：是否存在一個(gè)定圓，與以動(dòng)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相內(nèi)切？若存在，求出這個(gè)定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）0；（3）存在，定圓的方程為：.

解析試題分析：（1）本題是求方程問(wèn)題，由于沒(méi)有告訴我們是什么曲線，因此我們可根據(jù)已知條件采取直接法求方程，由已知可得，然后化簡(jiǎn)即可；（2）這是直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，解題方法是設(shè)直線方程為（注意，知道為什么嗎？），與曲線方程聯(lián)立方程組，并消去得到關(guān)于的二次方程，如果設(shè)，則可得（用表示），而
變形后表示成的式子，再把剛才的表達(dá)式代入計(jì)算應(yīng)該就能得到結(jié)論；（3）假設(shè)存在這個(gè)定圓與動(dòng)圓內(nèi)切，則圓心距為兩圓半徑之差，從而與兩圓中的某個(gè)圓的半徑之和或差為定值（定圓的半徑），由于點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，這時(shí)聯(lián)想橢圓的定義，若是橢圓的左焦點(diǎn)，則就有是常數(shù)，故定圓是以為圓心，4為半徑的圓.
試題解析：(1)由題知，有.
化簡(jiǎn)，得曲線的方程：．
(2)∵直線的斜率為，且不過(guò)點(diǎn)，
∴可設(shè)直線：．
聯(lián)立方程組得．
又交點(diǎn)為，
∴．
∴
(3)答：一定存在滿足題意的定圓.
理由：∵動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，
∴兩圓的圓心之間距離與其中一個(gè)圓的半徑之和或差必為定值.
又恰好是曲線(橢圓)的右焦點(diǎn)，且是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，
記曲線的左焦點(diǎn)為，聯(lián)想橢圓軌跡定義，有，
∴若定圓的圓心與點(diǎn)重合，定圓的半徑為4時(shí)，則定圓滿足題意.
∴定圓的方程為：.
考點(diǎn)：（1）求曲線方程；（2）直線與橢圓相交與定值問(wèn)題；（3）兩圓內(nèi)切與橢圓的定義.