如圖，橢圓
的中心為原點
，長軸在
軸上，離心率
，又橢圓上的任一點到橢圓的兩焦點的距離之和為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若平行于
軸的直線
與橢圓相交于不同的兩點
、
，過、兩點作圓心為
的圓，使橢圓上的其余點均在圓外.求
的面積
的最大值.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）根據題干條件求出
、
的值，進而求出
的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）設點的坐標為
，并設橢圓上任意一點
的坐標為
，求出
，根據題中條件得到點
的坐標使得取得最小值，從而得出
，最后再求出面積的表達式，結合二次函數或基本不等式求出的最大值.
試題解析：（1）設所求橢圓的標準方程為
，
由題意得
，解的
，
，
，
所求橢圓的標準方程為；
（2）由橢圓的對稱性，可設
，又設
是橢圓上任意一點，則
，
，
所以當
時，取最小值
，
又由題意得：是橢圓上任意一點到的距離最小的點，
設，因此當
時，取最小值，
又因
，所以，
由對稱性知
，故
，所以
S
，
所以當
時，的面積取得最大值.
考點：1.橢圓的方程；2.圓與橢圓的位置關系；3.二次函數
輕松暑假總復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓
與圓
相切，且與圓
相內切，記圓心的軌跡為曲線
；設
為曲線上的一個不在
軸上的動點，
為坐標原點，過點
作
的平行線交曲線于
兩個不同的點.
（1）求曲線的方程；
（2）試探究
和
的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記
的面積為
，
的面積為
，令
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
(a>b>0)的離心率為
，且橢圓C上一點與兩個焦點F1，F2構成的三角形的周長為2
+2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2作直線l 與橢圓C交于A，B兩點，設
，若
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）的右焦點為
，且橢圓過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為
的直線
與橢圓交于不同兩點
、
，以線段
為底邊作等腰三角形
，其中頂點
的坐標為
，求△的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖已知拋物線
：
過點
，直線
交于
，
兩點，過點
且平行于
軸的直線分別與直線和
軸相交于點
，
．
(1)求
的值；
(2)是否存在定點
，當直線過點時，△
與△
的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(理)已知點
是平面直角坐標系上的一個動點，點
到直線
的距離等于點到點
的距離的2倍．記動點的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為
的直線
與曲線交于
兩個不同點，若直線不過點
，設直線
的斜率分別為
，求
的數值；
(3)試問：是否存在一個定圓
，與以動點為圓心，以
為半徑的圓相內切？若存在，求出這個定圓的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）的右焦點
，右頂點
,且
．
(1)求橢圓的標準方程；
（2）若動直線
：
與橢圓有且只有一個交點
，且與直線
交于點
,問：是否存在一個定點
,使得
.若存在，求出點
坐標；若不存在，說明理由.
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是橢圓
上兩點，點
的坐標為
.
關于點
對稱時，求證：
；
經過點
時，求證：
不可能為等邊三角形.
，橢圓
以
的長軸為短軸，且與
為坐標原點，點
、
分別在橢圓
，求直線
的方程.