Question

（2011•湖南模擬）巳知⊙C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，直線L：4x+3y+m=0（其中m＜-2）與x、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點，點P（x，y）（xy＞0）是線段AB上動點，如果直線L與圓C相切，則m的值等于

-12

；log₃x+log₃y的最大值等于

1

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，根據直線l與圓C相切，得到圓心到直線l的距離等于圓的半徑，列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
由求出的m的值代入直線l的方程確定出直線l，然后用含x的式子表示出y，把表示出的y代入xy得到一個二次函數，然后利用二次函數求最值的方法求出xy的最大值，然后利用對數函數的運算法則把所求的式子化簡后，根據3大于1得到對數函數為增函數，把xy的最大值代入即可求出所求式子的最大值．

解答：解：由圓的方程得到圓心C（1，1），半徑r=1，
因為直線l與圓C相切，所以圓心到直線l的距離d=r=1，即

|m+7|

5

=1，
解得：m=-2（與已知m＜-2矛盾，舍去）或m=-12，
所以滿足題意的m的值為-12；
由3＞1，得到對數函數為增函數，
由4x+3y-12=0，得到y=-

4

3

x+4，所以xy=-

4

3

x²+4x，
當x=-

4

2×(- 4 3 )

即x=

3

2

＞0，y=2＞0時，xy的最大值為3，
則log₃x+log₃y的最大值為log₃^xy=log₃³=1．
故答案為：-12；1．

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，掌握二次函數求最大值的方法，是一道中檔題．