Question

（2011•湖南模擬）設函數f（x）=x²+3，對任意x∈[1，+∞），f（

3 2 x

m

）+m²f（x）≥f（x-1）+3f（m）恒成立，則實數m的取值范圍是

（-∞，-

6

]∪[-

3

，0）∪（0，

3

]∪[

6

，+∞）

．

Answer 1

分析：先把原不等式整理后轉化為g（x）=（

18

m2

+m²-1）x²+2x-10≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，再利用二次函數恒成立的求解方法即可求實數m的取值范圍．

解答：解：原不等式f（

3 2 x

m

）+m²f（x）≥f（x-1）+3f（m）整理得（

18

m2

+m²-1）x²+2x-10≥0，
即可以轉化為g（x）=（

18

m2

+m²-1）x²+2x-10≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立．
∵

18

m2

+m²≥2

18 m2 •m2

=6

2

＞1，即函數g（x）開口向上，對稱軸為負數，所以在x∈[1，+∞）上遞增．
故只須g（1）≥0⇒

18

m2

+m²-9≥0⇒（m²）²-9m²+18≥0⇒m²≥6或m²≤3．⇒m≥

6

或-

3

≤m＜0或0＜m≤

3

或m≤-

6

．
故答案為：（-∞，-

6

]∪[-

3

，0）∪（0，

3

]∪[

6

，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數的恒成立問題．二次函數的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．