Question

（1）如果x（1-x）⁴+x²（1+2x）^k+x³（1+3x）¹²展開式中x⁴的系數是144，求正整數k的值；
（2）求(

1

x

+x-1)5展開式中含x一次冪的項．

Answer 1

分析：（1）求出各式的展開式中x⁴的系數依次為-4，C_k²•2²，C₁₂¹•3，據題應有-4+4C_k²+36=144，解方程求的k值．
（2）(

1

x

+x-1)5=(x+

1

x

)5-5(x+

1

x

)4+10(x+

1

x

)3-10(x+

1

x

)2+5(x+

1

x

)-1，考查各個式子的通項，
求出各部分含x的項，求和即得結果．

解答：解：（1）x（1-x）⁴，x²（1+2x）^k，x³（1+3x）¹²的展開式中x⁴的系數依次為-4，C_k²•2²，C₁₂¹•3，
據題應有-4+4C_k²+36=144，解得k=8．
（2）(

1

x

+x-1)5=(x+

1

x

)5-5(x+

1

x

)4+10(x+

1

x

)3-10(x+

1

x

)2+5(x+

1

x

)-1，
分別計算各項中x項的系數，(x+

1

x

)5中通項Tr+1=

C

r 5

x5-r•(

1

x

)r=

C

r 5

•x5-2r，
r=2時得x項為T₃=C₅²•x=10x；  (x+

1

x

)3中通項為T_r+1=C₃^rx^3-2r，r=1時得x項為 T₂=C₃¹x=3x，
x+

1

x

中x項即為x；在(x+

1

x

)4，(x+

1

x

)2展開式中不含x項，故所求含x的項為10x+10•3x+5x=45x．

點評：本題考查二項式系數的性質，二項式的展開式的通項公式，求出所有含x的項是解題的關鍵．