Question

已知函數f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）如果x∈[1，4]，求函數h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函數M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值；
（3）如果不等式f（x²）f（

x

）＞kg（x）對x∈[2，4]有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）寫出h（x）的表達式，借助的二次函數的性質即可求得函數h（x）的值域；
（2）先比較f（x）與g（x）的大小，然后把M（x）化為分段函數，分別求出各段上M（x）的最大值，取其較大者即可；
（3）通過換元，令t=log₂x，則不等式可變為關于k、t的不等式，分離出參數k后轉化為求函數的最大值處理即可；

解答：解（1）h（x）=（4-2log₂x）•log₂x=-(log2x-1)2+2，
∵x∈[1，4]，∴log₂x∈[0，2]，
∴h（x）的值域為[0，2]；
（2）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
當x＞2時，f（x）＜g（x）；當0＜x≤2時，f（x）≥g（x），
∴M（x）=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

=

log2x，0＜x≤2 3-2log2x，x＞2

，
當0＜x≤2時，M（x）的最大值為1；
當x＞2時，M（x）＜1，；
綜上，當x=2時，M（x）取到最大值為1．
（3）由f（x²）f（

x

）＞kg（x），得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，
令t=log₂x，∵x∈[2，4]，∴t∈[1，2]，
∴存在t∈[1，2]使（3-4t）（3-t）＞kt，即k＜

(3-4t)(3-t)

t

=4t+

9

t

-15成立，
記h（t）=4t+

9

t

-15，則k＜h（t）_max，
而h（t）在[1，

3

2

]上遞減，在[

3

2

，2]上遞增，所以h（t）_max=h（1）=-2，
所以k＜-2．

點評：本題考查函數的值域、分段函數的最值、不等式等知識，解決（3）問的關鍵是正確理解題意并準確轉化為函數最值．