Question

【題目】如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明及，即可證明：平面，問題得證。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得為平面的法向量，求得平面的法向量為，利用空間向量夾角的數(shù)量積表示即可求得二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面.

又平面，所以，

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，且為等邊三角形，所以.

又，所以平面.

（2）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

所以，由，，

可知，所以.

以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以，，，，，

所以，，

由（1）知，為平面的法向量，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以，

所以，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

取，則.

所以 .

因?yàn)槎�面�?/span>為鈍角，

所以，二面角的余弦值為.