Question

【題目】已知函數f（x）＝xex－alnx（無理數e＝2.718…）．

（1）若f（x）在（0，1）單調遞減，求實數a的取值范圍；

（2）當a＝－1時，設g（x）＝x（f（x）－xex）－x3＋x2－b，若函數g（x）存在零點，求實數b的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a≥2e；（2）0

【解析】

（1）由題得≤0，即a≥（x2＋x）ex在（0，1）上恒成立，再構造函數求函數的最大值即得解；（2）問題等價于方程b＝xlnx－x3＋x2在（0，＋∞）上有解，先證lnx≤x－1（x＞0），再求得b的最大值為0．

（1），

由題意：≤0，x∈（0，1）恒成立，即（x2＋x）ex－a≤0，

也就是a≥（x2＋x）ex在（0，1）上恒成立，

設h（x）＝（x2＋x）ex，

則＝ex（2x＋1）＋（x2＋x）ex＝ex（x2＋3x＋1），

當x∈（0，1）時，x2＋3x＋1＞0，

故）＞0，h（x）在（0，1）單調遞增，h（x）＜h（1）＝2e，

因此a≥2e．

（2）當a＝－1時，f（x）＝xex＋lnx，g（x）＝xlnx－x3＋x2－b，

由題意：問題等價于方程b＝xlnx－x3＋x2在（0，＋∞）上有解，

先證：lnx≤x－1（x＞0），事實上：設y＝lnx－x＋1，則，

令，x＝1，x∈（0，1）時，y'＞0函數遞增，x∈（1，＋∞）時，y'＜0函數遞減，

ymax＝y|x＝1＝0，即y≤0，也就是lnx≤x－1．

由此：k（x）＝xlnx－x3＋x2≤x（x－1）－x3＋x2＝2x2－x－x3＝－x（x2－2x＋1）≤0，

故當x＝1時，k（1）＝0，所以b的最大值為0．