Question

【題目】如圖，已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點的右側.記、的面積分別、.

（1）求的值及拋物線的方程；

（2）求的最小值及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2），

【解析】

（1）由拋物線的焦點坐標，即可得的值及拋物線的方程；

（2）引入變量表示點坐標，然后將直線的方程用表示，利用三角形的重心也可以把其余點的坐標用變量表示，進而將三角形面積的比值表示成關于的函數，再利用基本不等式求最小值，從而得到答案.

（1）由拋物線的性質可得：，∴，

∴拋物線的方程為；

（2）設，，，重心，

令，，則，

由于直線過，故直線的方程為，

代入，得：，

∴，即，∴，

又，，重心在軸上，

∴，

∴，，

∴直線的方程為，得，

∵在焦點的右側，∴，

∴，

令，則，

，

∴當時，取得最小值為，此時.