Question

【題目】對于集合，，,.集合中的元素個數記為.規定：若集合滿足，則稱集合具有性質．

（I）已知集合，，寫出，的值；

（II）已知集合，為等比數列，，且公比為，證明：具有性質；

（III）已知均有性質，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（I）； （II）見解析； （III）.

【解析】

(Ⅰ)分別求得A+A，B+B，然后可得，的值；

(Ⅱ)將原問題進行等價變形，然后利用反證法證明題中的結論即可；

(Ⅲ)原問題等價于任意兩個元素之和均不相同，且任意兩個不同元素之差的絕對值均不相同.據此整理計算即可確定的最小值.

（I）由題意可得：，,

故

（II）要證具有性質，只需證明，若，則.

假設上式結論不成立，即若，則.

即，即，

，.

因為上式的右邊為的倍數，而上式的左邊為的倍數，所以上式不成立.

故假設不成立，原命題成立.

（III）由題意，集合具有性質，等價于任意兩個元素之和均不相同.

如，對于任意的，有，

等價于，即任意兩個不同元素之差的絕對值均不相同.

令，

所以具有性質.

因為集合均有性質，且，

所以，當且僅當時等號成立.

所以的最小值為.