Question

【題目】小郭是一位熱愛臨睡前探究數學問題的同學，在學習向量三點共線定理時，我們知道當P、A、B三點共線，O為直線外一點，且時，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個問題，請同學幫助小郭解答.

（1）當x+y>1或x+y<1時，O、P兩點的位置與AB所在直線之間存在什么關系？寫出你的結論，并說明理由

（2）如圖2，射線OM∥AB，點P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且，求實數x的取值范圍，并求當時，實數y的取值范圍.

（3）過O作AB的平行線，延長AO、BO，將平面分成如圖3所示的六個區域，且，請分別寫出點P在每個區域內運動（不含邊界）時，實數x，y應滿足的條件.（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）若，則O、P異側；若，則O、P同側，理由見解析；（2），；（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．

【解析】

運用平面向量基本定理和三點共線的結論可解決此問題．

解：（1）若，則O、P異側，若，則O、P同側；理由如下：

設，則由得，

，

當時，與同向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P異側；

當時，與反向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P同側；

（2）由圖及平面向量基本定理可知，，即實數的取值范圍是，

當時，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，；

（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．