Question

【題目】已知：等比數列{}中，公比為q，且a1=2，a4=54，等差數列{}中，公差為d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3.

（I）求數列{}的通項公式；

（II）求數列{}的前n項和的公式；

（III）設，，其中n=1，2，…，試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（I）=2·3；（II） ；（III）當n≤18時，；當n=19時，；當n≥20時，.

【解析】

（I）先由{an}的a1，a4求出公比q，再由等比數列的通項公式即可得結果;（II）等差數列{bn}滿足b1+b2+b3+b4=26進而求出d，得到bn利用等差數列的前n項和公式可得結果；（III）由已知可得b1，b4，b7，b3n-2組成以b1=2為首項，3d為公差的等差數列，而b10，b12，b14，b2n+8組成以b10=29為首項，2d為公差的等差數列，求出Pn和Qn后，作差得到關于n的函數關系式，討論n的情況可得結果．

（I）等比數列{}中，a4=，則=27，即q=3，則=a1=2·；

（II）由（I）知：

∵數列{}是等差數列，∴，

∴，

∴，∴，∴前n項和；

（III）由題知：…，組成以3d為公差的等差數列，

則，

同理…，組成以2d為公差的等差數列，，

，

則，

則當n≤18時，；當n=19時，；當n≥20時，.