Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上任意一點，的最小值為，且該橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同的兩點，且，若，試問直線是否經過一個定點？若經過定點，求出該定點的坐標；若不經過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點

【解析】

（1）依題意得到方程組解得；

（2）已知且，可知點同在軸的上方或下方，

由對稱性可知，若動直線經過一個定點，則該定點在軸上，因為，所以點關于軸的對稱點在直線上，

設直線的方程為，則直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，列出韋達定理，由直線的斜率，得直線的方程為，令，計算其橫坐標是否為定值.

解：（1）依題意得，解得，所以橢圓；

（2）直線過定點，

證明：已知且，可知點同在軸的上方或下方，

由對稱性可知，若動直線經過一個定點，則該定點在軸上，

因為，所以點關于軸的對稱點在直線上，

設直線的方程為，則直線的方程為，

聯立，消去整理得又，

所以，

由直線的斜率，得直線的方程為，

令，得：，

由，

所以

即，

所以直線過定點.