Question

【題目】已知 .

（1）若是上的增函數，求的取值范圍；

（2）若函數有兩個極值點，判斷函數零點的個數.

Answer 1

【答案】(1) (2) 三個零點

【解析】

(1) 由題意知恒成立,構造函數，對函數求導，求得函數最值，進而得到結果；（2）當時先對函數求導研究函數的單調性可得到函數有兩個極值點，再證，.

（1）由得，

由題意知恒成立，即，設，，

時，遞減，時，，遞增；

故，即，故的取值范圍是.

（2）當時，單調，無極值；

當時，，

一方面，，且在遞減，所以在區間有一個零點.

另一方面，，設 ，則，從而

在遞增，則，即，又在遞增，所以

在區間有一個零點.

因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為，

，當時，即；當時，即

；當時，即：從而在遞增，在

遞減，在遞增；于是是函數的極大值點，是函數的極小值點.

下面證明：，

由得，即，由

得 ，

令，則，

①當時，遞減，則，而，故；

②當時，遞減，則，而，故；

一方面，因為，又，且在遞增，所以在

上有一個零點，即在上有一個零點.

另一方面，根據得，則有：

，

又，且在遞增，故在上有一個零點，故在

上有一個零點.

又，故有三個零點.