Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)(R)的一個極值點為.

(1) 求的值和的單調(diào)區(qū)間；

(2) 若方程的兩個實根為, 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. (2)實數(shù)的取值范圍為.   

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）因為函數(shù)的一個極值點為x=1.

可以知道該點的導數(shù)值為零，得到a的值，并進而求解導數(shù)，得到f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2) 因為方程的兩個實根為, 函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào),利用單調(diào)性判定區(qū)間只能是已知單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間而已，進而求解得到范圍。

解：（1）∵,

      ∴.

      ∵的一個極值點為,

      ∴.

     ∴ .                                        ————————3分

     ∴,

當時, ;當時, ;當時, ;

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.  6分

(2)∵方程的兩個不等實根為,

∴△=b²-4b>0,   b<0或b>4  (*)

∵ 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,

∴區(qū)間只能是區(qū)間,,之一的子區(qū)間.

記，的對稱軸為x=,

①., 則，解得無解；————————9分

②，則，解得———————12分

③則 解得b>4

∴實數(shù)的取值范圍為.    ------------------------------------------------15分