Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若恒成立，求參數的取值范圍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ），函數的定義域為.

. ---------------1分

.

（1）當，即時，恒成立，所以函數在上單調遞增； ---------------------------2分

（2）當，即時，方程有兩個根.

解得，.

①當時，，.

此時，函數在上單調遞增. ------------4分

②當時，.

此時，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.-----------6分

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時，函數的單調遞增區間為，；單調遞減區間為. -----------7分

（Ⅱ）不等式，即，

又因為，故分離參數可得. ----------9分

記，

則. -------------10分

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

所以函數的最小值為. ---------------12分

所以由不等式恒成立可得. ---------------------13分

【命題意圖】本題考查導數與函數的單調性、含參函數的單調區間、不等式恒成立求參數范圍等，考查基本的邏輯推理能力、運算能力以及數學應用意識等.