Question

【題目】如圖，多面體中，四邊形為平行四邊形，其中，，，等邊所在平面與平面垂直，平面，且.

（Ⅰ）點在棱上，且，為的重心，求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）如圖，在棱上取點，使得；連接并延長，交于點.

則在中，又，

所以，

又四邊形為平行四邊形，

所以，

所以. -----------------2分

在中，為重心，

所以，

又，

所以.

又因為，，

所以平面平面.

又平面，

所以平面. -----------------------------5分

（Ⅱ）在中，，，，

由余弦定理可得

.

所以.

取的中點，連接、.

在中，，

所以，且.

又因為平面平面，平面平面，

所以平面. -----------------------------7分

又中，，，

所以，且.

如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則，，，，，.

則，，，.

設平面的法向量為，

則由，可得

整理得.

令，則，.

所以為平面的一個法向量. ----------------------------9分

設平面的法向量為，

則由，可得.

整理得.

令，則，.

所以為平面的一個法向量. -----------------------------10分

所以.

-----------------------------11分

設平面與平面所成銳二面角為，則. -------12分

【命題意圖】本題考查空間中線面平行的證明、空間二面角的求解以及向量的基本運算等，考查基本的空間想象能力和邏輯推理能力、運算能力等.