Question

【題目】設(shè)函數(shù) ，若函數(shù) 在x=1處與直線 相切．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a,b的值；
（Ⅱ）求函數(shù) 在 上的最大值．

Answer 1

【答案】解：(I)f′(x)＝ －2bx ， ∵函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－ 相切，
∴ 解得
(Ⅱ)由(1)知，f(x)＝lnx－ x2 ， f′(x)＝ －x＝ ，
當(dāng) ≤x≤e時(shí)，令f′(x)>0，得 ≤x<1，
令f′(x)<0，得1<x≤e， ∴f(x)在[ ，1)上是增加的，
在(1，e]上是減少的， ∴f(x)max＝f(1)＝－ .
【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程以及導(dǎo)數(shù)展示單調(diào)性中的應(yīng)用。（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)在x=1處于直線相切，列出方程組求解即可。（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的不等式及性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．