Question

【題目】（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.

Answer 1

【答案】(1)同解析（2）異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.（3）點A到平面PCD的距離d＝

【解析】解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.

又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.

(Ⅲ)

由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.

又S△=

設點A到平面PCD的距離h，

由VP-ACD=VA-PCD，

得S△ACD·OP＝S△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.

則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），

∞〈、〉=，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，

（Ⅲ）設平面PCD的法向量為n＝（x0,y0,x0），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

則n·＝0，所以 -x0+ x0=0,

n·＝0， -x0+ y0=0，　

即x0=y0=x0,　

取x0=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

從而點A到平面PCD的距離d＝