Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E為BC的中點，現將△BAE與△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都與平面ADE垂直．

（1）求證：BC∥平面ADE；

（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

（1）過點B作BM⊥AE于M，過點C作CN⊥ED于N，連接MN，證明BC∥MN即可；
（2）以E為原點，ED為x軸，EA為y軸，建立空間直角坐標系Exyz，求出平面CEB的法向量，平面AEB的法向量，計算即可．

（1）過點B作BM⊥AE，垂足為M，過點C作CN⊥ED于N，連接MN，如圖所示；

∵平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE，

∴BM⊥平面ADE，CN⊥ADE，
∴BM∥CN；
由題意知Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BM＝CN，
∴四邊形BCNM是平行四邊形，
∴BC∥MN；
又BC平面ADE，MN平面ADE，
∴BC∥平面ADE；
（2）由已知，AE、DE互相垂直，以E為原點，ED為x軸，EA為y軸，建立空間直角坐標系Exyz，如圖所示；

則E（0，0，0），B（0，，），C（，0，），
，
設平面CEB的法向量為＝（x，y，z），
則，
即，
令y＝1，則z＝1，x＝1，
∴＝（1，1，1）；
設平面AEB的法向量為＝（x，y，z），

則，易求得＝（1，0，0），
又，

二面角ABEC的平面角的余弦值為．