【題目】如圖，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，點
在
上，且
，將
沿
折起，使得平面
平面
（如圖），
為中點.
（1）求證：
平面；
（2）求直線
與平面所成的角的正弦值.
（3）在線段
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）詳見解析；（2）
；（3）存在，
【解析】
（1）根據面面垂直的性質定理，證得
平面
.
（2）作出直線
與平面所成的角，解三角形求得線面角的正弦值.
（3）設
是
靠近
的四等分點，
是
靠近
的四等分點，通過證明平面
平面
，證得
平面，并由此求得
的值.
（1）由于
，
是
的中點，所以
，由于平面
平面，所以平面.
（2）連接
，由（1）知平面，所以
是直線與平面所成的角.
.在三角形
中，
，由余弦定理得
.在
中，
，所以
.所以
.
（3）存在，且是靠近的四等分點.
設是靠近的四等分點，是靠近的四等分點，連接
.
由于
，所以四邊形
是平行四邊形，所以
，
由于
平面
，
平面，所以
平面；
由于
，所以
，由于
平面，
平面，所以
平面；
由于
，根據面面平行的判定定理可知，平面平面，所以平面.
故存在是靠近的四等分點，使平面，且.
口算小狀元口算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E為BC的中點，現將△BAE與△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都與平面ADE垂直．
（1）求證：BC∥平面ADE；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班主任對全班50名學生學習積極性和對待工作的態度進行了調查，統計數據如下所示：
積極參加班級工作 | 不太主動參加班級工作 | 合計 | |
學習積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學習積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
（1）如果隨機抽查這個班的一名學生，那么抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少？抽到不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少？
（2）試運用獨立性檢驗的思想方法有多大把握認為學生的學習積極性與對班級工作的態度有關系？并說明理由.
本題參考數據：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在打擊拐賣兒童犯罪的活動中,警方救獲一名男孩,為了確定他的家鄉,警方進行了調查:
知情人士A說,他可能是四川人,也可能是貴州人；
知情人士B說,他不可能是四川人；
知情人士C說,他肯定是四川人；
知情人士D說,他不是貴州人.
警方確定,只有一個人的話不可信.根據以上信息,警方可以確定這名男孩的家鄉是（ ）
A.四川B.貴州
C.可能是四川,也可能是貴州D.無法判斷
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】狄利克雷是19世紀德國著名的數學家，他定義了一個“奇怪的函數”
，下列關于狄利克雷函數的敘述正確的有：______.
①
的定義域為
，值域是
②具有奇偶性，且是偶函數
③是周期函數，但它沒有最小正周期 ④對任意的
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知梯形
中，
，
，
，四邊形
為矩形，
，平面
平面．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求平面與平面
所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得直線
與平面所成角的正弦值為
，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，滿足：
，M是
的中點.
（1）若
，求向量
與向量
的夾角的余弦值；
（2）若O是線段
上任意一點，且
，求
的最小值：
（3）若點P是
內一點，且
，
，
，求
的最小值.
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