Question

【題目】根據《山東省全民健身實施計劃（2016-2020年）》，到2020年鄉鎮（街道）普遍建有“兩個一”工程，即一個全民健身活動中心或燈光籃球場、一個多功能運動場.某市把甲、乙、丙、丁四個多功能運動場全部免費為市民開放.

（1）在一次全民健身活動中，四個多功能運動場的使用場數如圖，用分層抽樣的方法從甲、乙、丙、丁四場館的使用場數中依次抽取，，，共25場，在，，，中隨機取兩數，求這兩數和的分布列和數學期望；

（2）設四個多功能運動場一個月內各場使用次數之和為，其相應維修費用為元，根據統計，得到如下表的與數據：

	10	15	20	25	30	35	40
	2302	2708	2996	3219	3401	3555	3689
	2.49	2.99	3.55	4.00	4.49	4.99	5.49

（i）用最小二乘法求與之間的回歸直線方程；

（ii）叫做運動場月惠值，根據（i）的結論，試估計這四個多功能運動場月惠值最大時的值.

參考數據和公式：，，，，

，.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，；（2）（i）；（ii）20.

【解析】

（1）根據題意，確定抽樣比，得到，，，的值分別為5，6，9，5；所以這兩數和的所有可能的取值為10，11，14，15，求出對應概率，即可得出分布列與數學期望；

（2）（i）由最小二乘法，結合題中數據，求出，的估計值，從而可得回歸直線方程；

（ii）由（i）得到，所以，設，用導數的方法求其最值即可.

（1）根據題中所給的條形圖，易知總場數為100，所以抽樣比例為，

所以，，，的值分別為5，6，9，5.

所以這兩數和的所有可能的取值為10，11，14，15.

于是，，

，，

所以隨機變量的分布列為：

	10	11	14	15

所以.

（2）（i）因為，，，，

所以，

即，

所以與之間的回歸直線方程為.

（ii）因為，

所以，

設，

則，

令，在恒成立，

則在為減函數，又，

所以當時，，，所以在上單調遞增，

當時，，，所以在上單調遞減，

所以估計這四個多功能運動場月惠值最大時的值為20.