Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線斜率為，且與橢圓的另一個交點為，是否存在點，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由題可得當為的短軸頂點時，的面積有最大值，根據橢圓的性質得到、、的方程，解方程即可得到橢圓的方程；

（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立消去，得到關于的一元二次方程，表示出根與系數的關系，即可得到的中點坐標，要使，則直線為線段的垂直平分線，利用直線垂直的關系即可得到關于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范圍。

解（1）當為的短軸頂點時，的面積有最大值

所以，解得，故橢圓的方程為：.

（2）設直線的方程為，

將代入，得；

設，線段的中點為，

，

即

因為，所以直線為線段的垂直平分線，

所以，則，即，

所以，

當時，因為，所以，

當時，因為，所以.

綜上，存在點，使得，且的取值范圍為.