Question

【題目】設f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．

（1）若不等式f（x）≥-3對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；

（2）解關于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．

Answer 1

【答案】(1) [，+∞）．(2)答案不唯一，見解析

【解析】

（1）根據條件不等式f（x）≥-3對一切實數x恒成立，轉化為ax2+（1-a）x+a≥0對一切實數x恒成立；分a=0和a≠0兩種情況討論，即可得出結論；

（2）不等式f（x）＜a-2代入化簡得ax2+（1-a）x-1＜0，對a的取值進行分類討論，即可得不等式的解集．

解：（1）由條件知不等式f（x）≥-3對一切實數x恒成立；

即ax2+（1-a）x+a≥0對一切實數x恒成立；

當a=0時，x≥0，顯然不能恒成立；

當a≠0時，要使得ax2+（1-a）x+a≥0對一切實數x恒成立，

滿足，解得a≥；

綜上述，實數a的取值范圍是[，+∞）．

（2）由條件化簡不等式f（x）＜a-2，

得ax2+（1-a）x-1＜0，

①當a=0時，不等式等價于：x-1＜0，∴x＜1，

不等式的解集為（-∞，1）；

當a≠0時，方程（x-1）（ax+1）=0有兩個實根，1和；

②當a＞0時，1＞，不等式等價于（x-1）（x+）＜0，

∴不等式的解集為（，1）；

③當a＜0時，不等式等價于（x-1）（x+）＞0，

當-1＜a＜0時，1＜，

不等式的解集為（-∞，1）∪（-，+∞）；

當a=-1時，1=，不等式的解集為{x|x≠-1}．

當a＜-1時，1＞，

不等式的解集為（-∞，）∪（1，+∞）；