Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式f（4x﹣k2x）+f（22x+1﹣k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1（2）（﹣∞，0]

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的必要條件，利用，求出值，再用奇函數(shù)的定義證明；

（2）恒成立，由已知轉(zhuǎn)化為

恒成立，利用在單調(diào)遞減，原不等式轉(zhuǎn)為恒成立，換元令，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，只需求出，即可求出結(jié)論.

定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，

由.f（0）＝0，可得b＝1.

由f（﹣1）＝﹣f（1），即，

解得a＝2.∴f（x），

.

故得實(shí)數(shù)a＝2，b＝1.

（2）由，

∵y＝2x+1在上單調(diào)遞增且，∴f（x）在上單調(diào)遞減；

那么不等式f（4x﹣k2x）＜﹣f（22x+1﹣k）恒成立，

∵f（x）是奇函數(shù)，又是遞減函數(shù)；

則，

可得恒成立，

令t＝2x，（t＞0）

則恒成立，

若，則，可得成立；

若，則，即，此時(shí)無解

綜上實(shí)數(shù)k的取值范圍.