Question

【題目】已知函數，在處取極大值，在處取極小值.

(1)若，求函數的單調區間和零點個數；

(2)在方程的解中，較大的一個記為；在方程的解中，較小的一個記為，證明：為定值；

(3)證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為；單調減區間為；3個零點（2）-1(3)見解析

【解析】分析：（1）當時，求導即可得到單調區間，再利用零點存在定理判定零點即可；

（2）因為，可知. 因為，即，可知，同理，得到，即可證明；

（3）要證，即要證.

設，求導，通過單調性可知，再設，求導，通過單調性可知，，

因為，所以，，且和分別在和2.處取最大值和最小值，因此恒成立，即當時，.

解析：解(1)當時，，；

當時，或；當時，；

即函數的單調增區間為；單調減區間為；

又，，，，所以有3個零點.

(2)因為，則，

可知.

因為，即，

即

.

可知，

同理，由可知

；

得到；

.

(3)要證，即要證.

設，則；當時，；當時，；

可知；

再設，則；當時，；當時，；

可知，.

因為，所以，，且和分別在和2處取最大值和最小值，因此恒成立，即當時，.

(3)另證：一方面，易證；（略）

另一方面，當 時，；

又；

所以，，

且不存在正數，使得其中等號同時成立，故.