Question

【題目】已知函數f(x)＝2ax－x2－3ln x，其中a∈R，為常數．

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是減函數，求實數a的取值范圍；

(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）(－∞，3]．（2）－3ln 3

【解析】

試題（1）由題意得導函數在[1，＋∞)上非正，利用參變分離將不等式恒成立轉化為對應函數最值： 最小值，根據基本不等式求最小值，即得實數a的取值范圍；（2）根據極值定義可得f′(3)＝0，解得a，再利用導數求函數最值.

試題解析：解：f′(x)＝2a－3x－＝.

(1)由題意知f′(x)≤0對x∈[1，＋∞)恒成立，

即≤0，

又x>0，所以－3x2＋2ax－3≤0恒成立，

即3≥2a恒成立，6≥2a，

所以a≤3.∴a的取值范圍為(－∞，3]．

(2)依題意f′(3)＝0，

即＝0，

解得a＝5，

此時f′(x)＝

＝－，

易知x∈[1,3]時f′(x)≥0，原函數遞增，x∈[3,5]時，f′(x)≤0，原函數遞減，

所以最大值為f(3)＝－3ln 3.