Question

如圖，橢圓的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過m（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點A和B，設P為橢圓E上一點，且滿足（O為坐標原點），求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由焦點F₂（1，0），過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點，且，知|CD|=4，|ST|=，由此能求出橢圓方程．
（2）設過m（2，0）的直線為y=k（x-2），由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），，由此結合題設條件能求出實數t的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，
∴焦點F₂（1，0），
∵過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點，且．
∴|CD|=4，解得|ST|=，
∴a=，b=1，c=1，
∴橢圓E的方程是．
（2）設過m（2，0）的直線為y=k（x-2），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），，
則，
2=+2=，
∴，
∵△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴0≤2k²＜1，
=1-，
∴t∈（-2，2）．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．