Question

（2006•海淀區(qū)一模）如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于P點，若點D滿足

FD

=

DP

，

AB

=λ

AD

（λ≠0），
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的長軸長等于4，Q是橢圓右準線l上異于點A的任意一點，A₁，A₂分別是橢圓的左、右頂點，直線QA₁、QA₂與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓方程得到A，F(xiàn)，B，P的坐標，由已知向量等式得到D為FP的中點，且D在線段AB上，寫出直線AB的方程，代入D點坐標后即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）設直線QA₁和QA₂的斜率分別為k₁，k₂，寫出兩直線方程，分別和橢圓方程聯(lián)立后求出M和N的坐標，由兩點式寫出直線MN的方程，由Q點的縱坐標相等得到兩斜率的關系，在MN的方程中取y=0得到x為定值，則答案可求．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴A（

a2

c

，0），F(xiàn)（c，0），B（0，b），P（c，

b2

a

），
∵

FD

=

DP

，∴D為FP的中點，∴D（c，

b2

2a

）．
∵

AD

=λ

DB

，∴D在線段AB上，
∵直線AB的方程為：

x

a2 c

+

y

b

=1．
∴c•

c

a2

+

1

b

•

b2

2a

=1，化簡得：3a²=4c²，∴e=

3

2

；
（Ⅱ）直線MN與x軸交于定點（

3

，0）．
證明：∵橢圓的長軸長等于4，∴a=2，b=1，c=

3

．
設直線QA₁和QA₂的斜率分別為k₁，k₂，則
由

x2+4y2-4=0 y=k1(x+2)

，得(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0．
解得：xM=

2-8k12

1+4k12

，yM=

4k1

1+4k12

．
由 

x2+4y2-4=0 y=k2(x-2)

，得(1+4k22)x2-16k22x+16k22-4=0
解得xN=

8k22-2

1+4k22

，yN=-

4k2

1+4k22

．
直線MN的方程為

y-yN

yM-yN

=

x-xN

xM-xN

，令y=0
得x=

xN•yM-xM•yN

yM-yN

，化簡得x=2×

k2-k1

k1+k2

．
∴yQ=k1(

4

3

+2)=k2(

4

3

-2)
∴

k1

k2

=7-4

3

．

k2-k1

k1+k2

=-

k1 k2 -1

k1 k2 +1

=

3

2

．
x=2×

3

2

=

3

．
即直線MN與x軸交于定點（

3

，0）．

點評：本題考查了橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了向量在解題中的應用和一元二次方程的解法，考查了學生應對繁雜計算的能力，屬壓軸題．