Question

如圖，橢圓的右焦點為F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉動，
并且交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點．
（1）求點P的軌跡H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，．
設軌跡H的最高點和最低點分別為M和N．當θ為何值時，△MNF為一個正三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的方程，A，B的坐標和P的坐標，把A，B坐標代入橢圓的方程聯立，當AB不垂直x軸時方程組相減整理求得的x和y的關系式，再看當AB垂直于x軸時，點P也滿足方程，綜合可得答案．
（2）把（1）中的軌跡方程整理成橢圓的標準方程，求得M，N，F的坐標，使△MNF為一個正三角形時，則tan==，求得a和b的關系，進而根據題設條件中的a和b的表達式，聯立求得θ．
解答：解：（1）設橢圓Q：（a＞b＞0）
上的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設P點坐標為P（x，y），
則
1°當AB不垂直x軸時，x₁?1;x₂，
由（1）-（2）得
b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）
故所求點P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0
（2）因為軌跡H的方程可化為：
∴M（，），N（，-），F（c，0），
使△MNF為一個正三角形時，
則tan==，即a²=3b²．
由于a²=1+cosθ+sinθ，，
則1+cosq+sinq=3sinθ，
得θ=arctan
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．