Question

已知函數f（x）=xe^-x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）當0＜x＜1時f（x）＞f（

k

x

），求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，即可求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）利用函數的單調性，將不等式進行轉化即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題知f'（x）=（1-x）e^-x（x∈R），當f'（x）＞0時，x＜1，當f'（x）＜0時，x＞1，----（3分）
所以函數f（x）的增區間為（-∞，1），減區間為（1，+∞），
其極大值為f(1)=

1

e

，無極小值．-----------（5分）
（Ⅱ）由題知0＜x＜1，當k≤0時，因為

k

x

≤0＜x＜1，由（1）知函數在（-∞，1）單調遞增，
所以f(x)＞f(

k

x

)，符合題意；-------（7分）
當0＜k＜1時，取x=k，可得f（k）＞f（1），這與函數在（-∞，1）單調遞增不符；（9分）
當k≥1時，因為

k

x

≥

1

x

＞1，由（1）知函數f（x）=xe^-x在（1，+∞）單調遞減，
所以f(

k

x

)≤f(

1

x

)，即只需證f(x)＞f(

1

x

)，即證xe-x＞

1

x

e-

1

x

，
同時取對數得ln（xe^-x）＞ln（

1

x

e-

1

x

），
即lnx+lne^-x＞ln

1

x

+lne-

1

x

，
即lnx-x＞-lnx-

1

x

，2lnx-x+

1

x

＞0，令h(x)=2lnx-x+

1

x

(0＜x＜1)，
則h′(x)=

-x2+2x-1

x2

=-

(x-1)2

x2

＜0對0＜x＜1恒成立，
所以h（x）為（0，1）上的減函數，所以h（x）＞h（1）=0，
所以f(x)＞f(

k

x

)，符合題意．-------（11分）
綜上：k∈（-∞，0]∪[1，+∞）為所求．------------（12分）

點評：本題主要考查函數單調性和極值的求解，以及導數與不等式的應用，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．