Question

如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E，證明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB²．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,相似三角形的判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接OE，OA，證明OE⊥BC，可得E是

BC

的中點，從而BE=EC；
（Ⅱ）利用切割線定理證明PD=2PB，PB=BD，結合相交弦定理可得AD•DE=2PB²．

解答： 證明：（Ⅰ）連接OE，OA，則∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D為PC的中點，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是

BC

的中點，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，
∴PA²=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB²．

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查切割線定理、相交弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．