Question

【題目】已知函數 ．
（1）求證f（x）是R上的單調增函數；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為 ，

設x1＜x2∈R，則

因為x1＜x2∈R，所以 ， ，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）是R上的增函數

（2）解：因為 ，

又2x+1＞1，所以 …（7分）

所以 ，故 ，

所以f（x）的值域為（﹣1，1）

（3）解：因為 ，所以f（x）為奇函數，

所以，從而不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0等價于f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）

因f（x）為增函數，由上式推得t2﹣2t＞k﹣2t2，即對一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0

從而判別式△=4+12k＜0，解得 ，

故實數k的取值范圍是

【解析】（1）根據增函數的定義可證明。（2）利用放縮法求出其值域。（3）利用奇函數的定義可證明f（x）為奇函數，進而轉化原式等價為f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）再根據函數增減性的定義可得關于t的不等式，解得即可。
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．