Question

【題目】已知關于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．
（Ⅰ）若該方程有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若該方程有兩個不等實數根，且這兩個根都大于1，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，記此函數的最大值為M（a），最小值為N（a），求M（a），N（a）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵該方程有兩個不等實數根，∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0，

解得a＜﹣1，或a＞5；

（Ⅱ）該方程有兩個不等實數根，根據（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5，且這兩個根都大于1，

∴ ＞1，

即﹣2a＞ ，

∴﹣a＞ ，

∴ ，

解得： ，

∴﹣ ．

∴實數a的取值范圍為（﹣ ，﹣1）；

（Ⅲ）f（x）的對稱軸為x=1﹣a；

∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2時，f（x）在[﹣1，1]上單調遞增；

∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；

②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2時，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；

③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1時，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；

④1﹣a≥1，即a≤0時，f（x）在[﹣1，1]上單調遞減；

∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；

∴綜上得， ，N（a）=

【解析】（Ⅰ）由題意可知，二次方程有兩個不等的實根，即得△＞0求解即可。（Ⅱ）根據題意兩個根均大于一，由求根公式限制即得不等式，解出即可。（Ⅲ）由題意函數的對稱軸x=1﹣a，利用二次函數的性質，對a的值分情況a>1,和a<1討論即可得出 M ( a )，再對a分情況討論，a>2,0<a<2,a<0進而得到N（a）。